分析步骤：无规则振动

由随时间变化的力所激发的线性 n 自由度系统的运动方程式系统为：

（方程式 1）

通过坐标转换，一组 n 阶联立方程式可以简化为 n 阶独立方程式（每个方程式可以独立求解）：

(r = 1, 2, ...., n)（方程式 2）

其中 xr(t) 是与节坐标 ur(t) 相关的模态坐标，由以下公式指定：

（方程式 3）。

模态载荷 {m(t)} 的向量由以下公式指定：

（方程式 4）。

假定激发以其功率谱密度 (psd) 函数来表示，求解方法则可在频率域中以公式化阐述。如果激发 psd 矩阵作为 [Sf(ω)] 给出，模态力 psd 矩阵则被定义为：

（方程式 5）。

模态位移响应 [Sx(ω)] 的 psd 将从如下公式获取：

（方程式 6），

其中 [H(ω)] 是模态传递函数矩阵，[H*(ω)] 是其复共轭。对于正常模式，传递函数矩阵与对角单元 Hr(ω) 成对角关系。

（方程式 7）和

（方程式 8）。

随后从（方程式 3）派生出位移响应 psd [Su(ω)]。

（方程式 9）。

速度和加速度响应的 psd 表示为：

（方程式 10）和

（方程式 11）。

模态速度和加速度 psd 与模态位移间的关系公式为：

（方程式 12）和 （方程式 13）

方程式 10 和方程式 11 可以重写为：

（方程式 14）和 （方程式 15）。

以模态响应 psd 表示的零延缓模态自相关 (τ=0) 是通过积分计算得出的：

（方程式 16）

（方程式 17）

（方程式 18）。

均方响应是由上述方程式中的矩阵对角线项确定的：

（方程式 19），

（方程式 20），

（方程式 21）。