运动方程式

单自由度 (SDOF) 系统

请考虑简单的质量弹簧系统。质量 (m) 取决于 u 方向上的力 F(t)，而且是时间的函数。质量只能在 u 方向上移动，因此这是一个单自由度 (SDOF) 系统。运动由刚度为 (k) 的弹簧承载

在时间为 (t) 时对该系统写入牛顿第二定律（力等于质量乘以加速度），将得出：

F(t)-ku(t) = mu..(t)

或：

mu..(t) + ku(t) = F(t)

其中：

u..(t) 是质量在时间 (t) 时的加速度，它等于 u 相对于时间的二阶导数

k = 是弹簧的刚度

理论上，如果移动并释放了质量，它会永远以相同的振幅继续振动。但实际上，质量会以逐渐减小的振幅振动，直到最终停止。这种现象称为阻尼效应，由摩擦和其它效应引起的能量损耗所导致。阻尼效应是一种复杂的现象。为便于讨论，我们假定阻尼力与速度成比例。这种阻尼称为粘性阻尼。

考虑到阻尼时，上述方程式将变为：

mu..(t) + cu.(t) + ku(t) = F(t)

其中：

u.(t) 是质量在时间 (t) 时的速度，它等于 u 相对于时间的一阶导数

在静态算例中，速度和加速度微乎其微，可以忽略不计，而 F 和 u 并非时间的函数。这样，上述方程式将简化为：F=ku。

多自由度 (MDOF) 系统

对于多自由度 (MDOF) 系统，m、c 和 k 会成为矩阵而非单个值，运动方程式将表示为：

其中：

[M]：质量矩阵

[K]：刚度矩阵

[C]：阻尼矩阵

{u(t)}：在时间为 t 时的位移向量（每个节的位移分量）

：在时间为 t 时的加速度向量（每个节的加速度分量）

：在时间为 t 时的速度向量（每个节的速度分量）

{f(t)}：随时间变化的载荷向量（每个节的力分量）